Álgebra y Geometría: Patrones, regularidades y sucesiones

Pensar en la enseñanza del álgebra implica pensar en saberes algebraicos alrededor de dos dimensiones: una dimensión útil que hace referencia a la utilización del álgebra para resolver problemas intra y extra matemáticos, y una dimensión objeto en la que el álgebra es considerada un conjunto estructurado de objetos (ecuaciones, incógnita, variable, función, etc.) con propiedades y reglas propias de funcionamiento.

La dimensión útil sólo adquiere sentido y potencia su rendimiento si hacemos de ella un objeto de estudio (Chevalard). Entonces, a partir de la resolución de problemas podemos utilizar el álgebra como instrumento para luego detenernos en el álgebra como objeto matemático, ya sea que los problemas estén ligados a la modelización, al trabajo aritmético o a las generalizaciones.

Si nos centramos en los problemas de generalización, el estudio de patrones o regularidades puede ser un buen camino hacia la abstracción matemática y hacia el desarrollo del pensamiento algebraico por medio de situaciones que permitan percibir patrones, expresarlos, registrarlos y probar la validez de las fórmulas.

Como un patrón es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, etc.) que se construye siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetición o recurrencia; puede llevarse al aula a través de la lectura de texto, de imágenes o de sonidos y utilizando lápiz y papel, calculadora, videos o programas como GeoGebra.

Como botón de muestra tomemos dos polígonos regulares, centrados en circunferencias concéntricas. Cada lado del polígono mayor es el doble que el del polígono menor. ¿Cuántos segmentos necesitamos dibujar para unir todos los vértices del mayor con todos los vértices del menor?

(Clic sobre la imagen para ver archivo dinámico)

Esta pregunta es fácil de responder si los polígonos tienen pocos lados pero la tarea no es tan simple si los polígonos tienen 15, 20 o 30 lados. En estos casos tal vez la estrategia más adecuada no sea el conteo y quizás debiéramos reemplazar el lápiz y el papel por otro recurso que nos permita analizar las regularidades y encontrar una fórmula para unir todos los vértices de dos polígonos de n lados.

(Clic sobre la imagen para ver archivo dinámico)

Temas principales de esta propuesta

  • La introducción al Algebra a través de patrones, regularidades y razonamiento inductivo.
  • Las regularidades como fuente de aprendizaje.
  • Patrones y regularidades en la naturaleza.
  • Patrones numéricos y patrones geométricos.
  • Generalización a partir de regularidades geométricas.
  • Polígonos estrellados y polígonos anidados.
  • GeoGebra: uso de comandos.

 Propuesta de trabajo

Las actividades propuestas invitan a pensar cómo a través del estudio de patrones y de regularidades es posible introducir a los estudiantes en los procesos de generalización y a las formas de razonamiento.

Como la búsqueda de regularidades puede realizarse en conjuntos numéricos, geométricos, de relaciones, de funciones, de valores estadísticos, de medidas, etc, se invita también a reflexionar sobre cómo este contenido puede trabajarse en todos los años de la escuela secundaria.

  1. Completen la actividad de los cuadrados propuesta en el siguiente video.

Clic AQUÍ para ver el video.

2.  Busquen y seleccionen un video, una imagen o una presentación de powerpoint que muestre figuras y formas que se pueden tomar como ejemplo para hacer sucesiones numéricas. Compartan el link en el foro y cuenten cuál es el patrón que se sigue.

  1. Resuelvan al menos tres de las actividades propuestas AQUÍ por Rabino, Bressan y Gallego.
  2. ¿Qué aporta o qué permite cada actividad seleccionada?

  1. Realicen las actividades propuestas AQUÍ con GeoGebra.
  2. ¿Qué aportan o permiten estas actividades en el aula? ¿Pueden realizarse con lápiz y papel? En caso afirmativo, ¿varían los aportes?

Propongan una secuencia para trabajar en clase patrones y regularidades numéricas. No olviden incluir los aportes de cada actividad.

Comentarios sobre las actividades

La búsqueda de imágenes y videos propuesta en la actividad 1, apunta a observar patrones y a seleccionar posibles recursos de aprendizaje.

Los problemas de la actividad 2 son problemas de regularidades y patrones para alumnos de primer año de la escuela secundaria que nos servirán para discutir sobre la enseñanza y el aprendizaje de las sucesiones y de las expresiones algebraicas.

La actividad 3 invita a pensar las generalizaciones desde modelos geométricos.

Y la actividad 4, permite utilizar todo el recorrido realizado para crear secuencias de enseñanza.

Dibujos, construcciones, aportes brindados por los profesores

Para ver los trabajos en Geogebra controle que Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Videos:

 Tutoriales:

 Secuencias didácticas brindadas por los profesores

 

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2 respuestas a Álgebra y Geometría: Patrones, regularidades y sucesiones

  1. Noelia dijo:

    Hola, necesito saber ¿cuál es la diferencia de trabajar las regularidades para producir fórmulas con puntitos en lugar de mosicos (o figuras continuas)?

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