Fractales…más allá de las imágenes

 La noción de fractal posee modelos matemáticos donde es posible retomar contenidos vistos en distintos años de la ES, pero aplicados con ciertas particularidades como geometría, sucesiones, transformaciones, matrices, ecuaciones exponenciales y noción de límite de sucesiones. Los fractales también modelizan objetos que exhiben una estructura a varios niveles de escala y se utilizan en la gráfica computarizada, que en ciertos casos describen formas de la naturaleza: Helge Koch mostró una curva con perímetro infinito, que encierra una región del plano de área finita, representada por una figura con forma de copo de nieve. 

AQUI encontramos interesantes propuestas para trabajar en el aula los fractales clásicos desde su construcción hasta el estudio de patrones y regularidades.

A veces no resulta sencillo despertar el interés en las clases de matemática, pero ¿a quién no le interesa jugar?, ¿qué chico no se interesa por los dibujos o se expresa a través de ellos? No tenemos más que mirar los bancos de las escuelas y las paredes, jeje. ¿Por qué no aprovechar ese artista interior para estudiar matemática?

Qué tal si iniciamos el estudio de la geometría fractal con papel y tijera!

Fractales con papel y tijera 1                                  Fractales con papel y tijera 2

Por otra parte, los fractales son autosemejantes porque una pequeña porción de un fractal resulta una copia a menor escala de todo el fractal.  El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. En este punto los softwares son ideales para trabajar fractales, por ejemplo:

  • Vean este documental, sin duda pensarán interesantes propuestas para llevarlo al aula.
  • Si la idea es trabajar desde las imágenes, GIMP es una buena alternativa para principiantes, sin uso de fórmulas matemáticas y con tres niveles de complejidad que nos permitirán acercarnos paulatinamente a los fractales: fondo de pantalla con efecto fractal , herramienta fractal explorer y filtro fractal IFS.
  • También contamos con software libres que nos permiten estudiar los fractales, algunos no necesitan descarga como FractalForge 2.8.2 y pueden lograrse interesantes producciones como las que se ven en este video. (Escuchen los clics…dan cuenta de la sencillez del trabajo)

FractalForge 2.8.2 puede descargarse de la categoría “Matemáticas > Fractales” incluida en cdlibre.org.

  • Si queremos trabajar desde el estudio de patrones y con fórmulas matemáticas contamos con dos importantes opciones: el entorno de GeoGebra, con propuestas como las que ofrece Estalmat-fractales o como las que pueden leerse en el número 47 de la revista suma o con el estudio de fractales simples de leer aunque no tan simples de construir.
  • Ahora, si lo que buscamos es una integración completa entre matemática y arte para llevar al aula, no podemos dejar de visitar Fractfinder. Este sitio nos acompaña en la utilización del software Explorador FF para la creación de fractales con y sin fórmulas.

El tema se agota aquí? No…esto es solo el principio.

Temas principales de esta propuesta

  •       Arte fractal
  •      Producción de imágenes fractales con GIMP. Editor de gráficos. Herramienta fractal explorer. Sistema de funciones iteradas (IFS).
  •       La función modelizadora de los fractales.
  •       La enseñanza de los fractales en la escuela secundaria y su relación con otros contenidos matemáticos.
  •       Historia de los fractales, concepto, dimensión y utilización.
  •       Creación de herramientas en GeoGebra.
  •       Uso de GeoGebra para representar fractales.
  •       Fractales y número complejos.
  •       Construcción de fractales con papel.                                                   
  •       Construcción y estudio de fractales con FractalForge 2.8.2y conExplorador FF

Propuesta de trabajo

En el siguiente video podemos ver algunos diseños de arte fractal.

Iteraciones, repeticiones y azar crean estas complejas figuras geométricas. Podemos dejar un momento la matemática de lado y lograr bellos diseños fractales con GIMP siguiendo las instrucciones que vemos en el Tutorial 1 y en el  Tutorial 2. También es posible obtener un diseño fractal con GIMP usando la herramienta fractal explorer como vemos en este video o siguiendo este Tutorial.

 Disfrutemos de algunos de las imágenes que pueden lograrse.

Preparar un hipertexto sobre fractales que incluya:

  1. Síntesis histórica
  2. Concepto de fractal
  3. Dimensión de un fractal
  4.  Análisis completo de un fractal
  5. Conexión con otros temas, sean o no de matemática.

Elijan dos fractales, describan como se forman (Copo de nieve de Koch, el dragón, triángulo de Sierpinski, alfombra de Sierpinski,…) y diséñenlo utilizando GeoGebra.

Orientados por el documento Fractales con GeoGebra en Educación Secundaria diseñe una propuesta de actividades para el aula.

Dibujos, construcciones, aportes brindados por los profesores

Paraver los trabajos en Geogebra controleque Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Videos

Tutoriales

Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados:

Profesora Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires.

 Secuencias didácticas y actividades brindadas por los profesores

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