Hot Potatoes, GeoGebra 5.0 y la construcción de preguntas y actividades como estrategia de aprendizaje de los cuerpos geométricos.

Al enseñar cuerpos geométricos en la escuela secundaria los docentes nos valemos de variadas estrategias y recursos esperando que los estudiantes pongan en juego determinadas estrategias de aprendizaje y que no confundan el objeto geométrico con su representación.

Proponemos actividades secuenciadas que favorezcan el descubrimiento de propiedades geométricas y la justificación de procesos. Gestionamos las clases de manera que los alumnos tengan la oportunidad de mostrar y validar sus afirmaciones y conclusiones.

En este trabajo áulico, muchas veces se nos hace difícil ver los conocimientos utilizados por los chicos y comprender el razonamiento seguido pues sólo tenemos acceso al razonamiento producto,  además muchos de los procesos mentales que realizan son inconscientes.

¿Cómo podemos hacer para que nuestros estudiantes nos muestren lo que saben, lo que piensan, las relaciones que establecen y las representaciones que tienen sobre los cuerpos geométricos?

Podemos usar preguntas, orales o escritas, actividades grupales o individuales con material concreto o sin él, juegos que involucren representaciones gráficas, problemas, mapas mentales o conceptuales, etc.

Ahora centrémonos en las preguntas. No es fácil preguntar, una buena pregunta depende de nuestro conocimiento sobre el tema tratado y de nuestro conocimiento sobre los receptores de la pregunta. Si la pregunta es buena posiblemente no necesite explicación.

Cuando el docente formula las preguntas, la clase se focaliza en el aspecto seleccionado del contenido y trabaja sobre él para encontrar la respuesta utilizando sus conocimientos previos.

¿Ocurre lo mismo si es el alumno el encargado de formular las preguntas?

 ¿Qué pasa si después de estudiar prismas y antiprismas les pedimos a nuestros estudiantes que redacten una serie de preguntas que permitan rescatar aspectos importantes de estos cuerpos y que luego, expliquen por qué eligieron esas preguntas?

Y si nos animamos a dar un paso más, ¿qué ocurre si les pedimos que seleccionen una serie de actividades que permitan rescatar todo lo aprendido sobre cuerpos arquimedeanos? Y qué tal si les pedimos que armen algunas actividades?

Para responder las preguntas del docente, los estudiantes usan conocimientos, ideas y representaciones  que tienen del objeto matemático y piensan en él desde la orientación que da la pregunta. Interpreta y responde en un contexto dado con un vocabulario con más o menos rigor matemático.

Para redactar las preguntas los estudiantes también usan conocimientos, ideas y representaciones que tienen del objeto matemático pero con un rol más activo, porque ellos deben decidir el contexto, la profundidad, el foco de la pregunta en un juego continuo entre conocimiento y saber, entre pregunta y respuesta. Otras variables se suman y de otra forma circula el conocimiento si la tarea consiste en seleccionar las actividades o en redactarlas.

17 papa manoHot Potatoes es una herramienta interesante para incursionar con los chicos en estas prácticas.

Veamos algunas actividades pensadas para estudiar los poliedros:

Unidad didáctica: Estudio de Poliedros.

Si bien las actividades que se pueden construir con Hot Potatoes son de estructura sencilla, la posibilidad que otorga de utilizar imágenes, textos, videos y sonidos hace que podamos combinar distintas representaciones de los objetos en un entorno interactivo y entretenido.

geogebra logoPero bueno, si lo que queremos es centrarnos en las distintas formas de representación, nada mejor que geogebra, pero para estudiar cuerpos sin dudas lo ideal será la versión beta geogebra 5.0. Ideal para estudiar cuerpos geométricos secuenciando actividades de interpretación, de construcción y de redacción de protocolos de construcción o mini tutoriales.

Temas principales de esta propuesta

  • Las preguntas como estrategia de enseñanza y las preguntas como estrategia de aprendizaje.
  • La construcción de actividades para la enseñanza y el aprendizaje a través de la construcción de actividades.
  • Potencialidades y limitaciones didácticas de las actividades que pueden construirse con Hot Potatoes.
  • Prismas y antiprismas.
  • Las representaciones en 3D y GeoGebra 5.0.

Propuesta de trabajo

 14 juntosLos invitamos a pensar en cómo hacer para que nuestros estudiantes nos muestren lo que saben sobre cuerpos geométricos, utilizando preguntas, actividades y ejercicios pero elaboradas por ellos.

actividad 1

a)    Realiza un recorrido por las actividades  sobre poliedros y sobre cuerpos geométricos en general.

b)    ¿Cómo y para qué utilizarías estas actividades en la clase? 

Si es el docente el que genera las actividades, ¿qué aportes pueden obtenerse en la enseñanza y en el aprendizaje de los cuerpos?

Si es el alumno el que genera las actividades, ¿qué aportes pueden obtenerse en la enseñanza y en el aprendizaje de los cuerpos?

actividad 2

a)    Visita Geometría activa y realiza un recorrido por los apartados 8, 9, 10 y 11.

b)    Visita las páginas siguientes para profundizar en el estudio de prismas, antiprismas y cuerpos arquimedeanos.

Geometría del espacio por niveles.

ECyT_Ar.

c)    Utiliza Hot Potatoes para crear una secuencia de cinco actividades diferentes sobre prismas, antiprismas y cuerpos arquimedeanos.

Para descargar Hot Potatoes ingresa a la pestaña descargas (Download) de la página oficial  o clic AQUÍ . Antes de iniciar la descarga es conveniente leer este tutorial de descarga e instalación.

actividad 3

Para seguir profundizando en nuestro estudio sobre los cuerpos geométricos los invito a probar la  versión beta de GeoGebra 5.0  realizando las tres primeras tareas de la secuencia propuesta por el Instituto GeoGebra Portugal.

17 Jquiz 6Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Tutoriales

15 youtubeVideos

15 tareaDibujos,  construcciones, aportes y Secuencias didácticas brindados por los profesores

Para ver los trabajos en Geogebra y Hot Potatoes controle que Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml.

Instalador Java.

Para ver y modificar los trabajos realizados con GeoGebra 5.0 es necesario que instale la versión Beta del programa: Instalador GeoGebra 5.0.  Imagen

Descomprima los archivos y siga los pasos indicados en el video: Ver video

Captura

Publicado en Matemática | Deja un comentario

TIC en el aula de matemática: los movimientos en el plano, teselas y mosaicos.

La geometría estudia las figuras, sus propiedades y también los movimientos de esas figuras.

Traslación, rotación, reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría que describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.

La enseñanza de la geometría y de los movimientos en la escuela secundaria apunta en términos generales al desarrollo del pensamiento geométrico, al desarrollo del razonamiento matemático y a la mejora de las habilidades de resolución de problemas.

Como docente de matemática tenemos la responsabilidad de proponer a nuestros estudiantes situaciones de aprendizaje centradas en el análisis de propiedades y en la deducción de las mismas. En estas situaciones los estudiantes deben tener la oportunidad de descubrir las propiedades geométricas y de evidenciar su validez en contextos extra-matemáticos e intra-matemáticos.

El estudio de los movimientos puede resultar realmente interesante para los jóvenes si se piensan situaciones de enseñanza que involucren la realidad, las imágenes, el arte y las TIC.

La lectura de imágenes de la naturaleza y de la realidad próxima permite una primera aproximación a las transformaciones isométricas y a sus propiedades:

Para ver: Clic sobre la imagen .
Profesora Andrea Landella de San Luis en la provincia de San Luis.

   Profesora Nancy María de Huerto Moreno de San Fernando del Valle de Catamarca en la provincia de Catamarca.

La utilización de un software de geometría dinámica como GeoGebra favorece el desarrollo del pensamiento matemático permitiendo visualizar, experimentar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades, etc. Gracias a él se pueden salvar algunas de las dificultades que habitualmente surgen en el estudio de los movimientos, como la falta de dinamismo, la dificultad en la construcción y la falta de visión del problema en su conjunto:

Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires
 
Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Profesora Cecilia Zschocke de Mar del Plata en la provincia de Buenos Aires.

GeoGebra resulta un recurso más que valioso para interpretar obras de arte basadas en movimientos como las de Escher y para crear las propias basadas en la teselación del plano, favoreciendo una metodología en la que el alumno participe de forma activa en su aprendizaje  desarrolle estrategias personales para la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos, incluso lápiz papel y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados.

Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Profesora Silvia Notarfrancesco de Lomas del Mirador,
partido de la Matanza, provincia de Buenos Aires
 
Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Profesora Stella Alvarez de Santos Lugares,
partido de 3 de Febreroen la provincia de Buenos Aires.
   Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Para ver el Ggb: Clic sobre la imagen
Profesora Fanny Villagra de Yerba Buena, provincia de Tucumán.

Por otra parte, los mapas mentales pueden resultar excelentes instrumentos para organizar y relacionar lo trabajado:

Profesora Stella Alvarez de Santos Lugares, partido de 3 de Febrero en la provincia de Buenos Aires.

Temas principales de esta propuesta

  • Las imágenes como recurso para analizar movimientos en el plano.
  • La edición de imágenes con GeoGeba.
  • Cmap  y Mindomo  como recursos para organizar  y presentar información.
  • La enseñanza de los movimientos y las dificultades de aprendizaje.
  • Los medios digitales para presentar y organizar imágenes.
  • La geometría dinámica y sus aportes para el estudio de los movimientos.
  • Construcción de teselas con cortes y movimientos.
  • Los mosaicos  y los distintos tipos de movimiento.
  • La teselación y el arte de Escher.

Propuesta de trabajo

Busque imágenes y/o videos de la naturaleza, el arte, objetos cotidianos, que muestren simetrías, rotaciones o traslaciones. Guarden las imágenes en una carpeta y compartan los videos en el foro.

Realice las construcciones de la siguiente secuencia.  ¿Qué aporta cada actividad?

 
 

Recorra los apuntes, ejercicios y prácticas del tema 9 de la página Amo las matematicas. Regístrese en Mindomo  y elabore un mapa que resuma el estudio de los movimientos en el plano. Utilice las imágenes y los videos recolectados en la actividad 1. ¿En qué momento de su trabajo en el aula puede utilizar este recurso? ¿Con qué fin?

El artista holandés M. C. Escher, inspirado en el embaldosado de La Alhambra en España,  aprendió a usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para cambiar la forma de los triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos regulares en figuras como pájaros, peces y reptiles que también sirvieran para embaldosar.

Recorra el apartado Los movimientos en el arte , Geometria dinámica, Matemática, arte y tecnología  y Mosaicos.  Con GeoGebra utilice movimientos para generar  Mosaicos Regulares, mosaicos semi regulares, mosaicos uniformes, rosetones, mosaicos no uniformes, Nazaries y/o teselaciones de Escher.

¿Cómo llevaría estas construcciones al aula?

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Tutoriales

Videos

Dibujos,  construcciones, aportes y Secuencias didácticas brindados por los profesores

Publicado en Matemática | Etiquetado , | 1 Comentario

Funciones trigonométricas y graficadores

Los principales elementos que integran la noción de función en general son, la variación, la dependencia, la correspondencia, el dominio, la imagen, la existencia, la unicidad, la simbolización y expresión de la dependencia y las distintas formas de representación (descripción verbal, diagramas de flechas, tablas, gráficas, dibujos, fórmulas). Cada representación hace su aporte a la construcción del significado de la función. Por este motivo es necesario trabajar todas las representaciones y el pasaje de una representación a la otra.

Si nos centramos en el estudio de las funciones trigonométricas el tratamiento no cambia, sin embargo interpretar el comportamiento trigonométrico no encierra el mismo grado de dificultad que interpretar un comportamiento lineal.

Ahora bien, de las representaciones mencionadas, las más abstractas son, indudablemente, gráficas y expresiones algebraicas. Entonces, ¿es recomendable empezar el tratamiento de las funciones trigonométricas a partir de actividades de construcción? 

Si pensamos en dos tipos de actividades:

  • De interpretación
  • De construcción

Las primeras involucran interpretación de descripciones verbales, de diagramas de flechas, de tablas, de gráficas, de dibujos y de fórmulas y las segundas, involucran realización de descripciones verbales, realización de diagramas de flechas, de tablas, etc.

Las actividades de interpretación no siempre implican construcción pero, las actividades de construcción exigen interpretación porque construir implica elegir el sistema de coordenadas y la escala, identificar la unidad y ubicar los puntos.

¿Cómo podemos trabajar actividades de interpretación de objetos tan abstractos como las funciones trigonométricas en los ejes cartesianos y en la circunferencia de radio 1?

En este punto los graficadores pueden transformarse en instrumentos pedagógicos favorecedores del aprendizaje porque facilitan la lectura de gráficos, tablas y fórmulas. Si estos graficadores permiten crear entornos dinámicos, como geogebra, su potencial se acrecienta.

Si analizamos la actividad  La noria creada por el profesor José Luis Álvarez García y que podemos encontrar dentro del proyecto Gauss, veremos que es una buena propuesta para introducirnos en el estudio de la circunferencia trigonométrica y de la función sinusoidal. Si bien se trabaja con alturas y tiempos es un buen contexto inicial para luego pasa a la circunferencia de radio uno  y a las funciones seno y coseno.

Utilizando GeoGebra podemos leer los gráficos y estudiar el comportamiento de las gráficas cartesianas a medida que modificamos los parámetros. Desde esta lectura inicial pueden construirse tablas, fórmulas y nuevas gráficas. En esta etapa de construcción el graficador se convierte en un entorno fértil para predecir, clasificar y traducir.

Con la siguiente propuesta los invito a pensar en la enseñanza de las funciones trigonométricas:

Temas principales de esta propuesta

  • Actividades de interpretación y actividades de construcción de funciones.
  • Las funciones trigonométricas en contextos reales.
  • Circunferencia trigonométrica, líneas trigonométricas y funciones trigonométricas.
  • Grados y radianes.
  • Representación de líneas y funciones trigonométricas utilizando GeoGebra.
  • Estudio de las funciones trigonométricas a partir de parámetros.

Propuesta de trabajo

Para entrar en tema los invito a realizar la actividad La noria  creada por el profesor José Luis Álvarez García y que podemos encontrar dentro del proyecto Gauss.

La actividad propuesta, ¿es de interpretación o de construcción?

Si utilizaran esta actividad para introducir a los estudiantes al estudio de las funciones trigonométricas, ¿eliminarían algunos ítems? ¿Cuáles? ¿Por qué? 

Antes de presentar a los alumnos esta actividad, ¿es pertinente trabajar actividades que involucren el pasaje de representación de funciones del lenguaje grafico (dibujo) al lenguaje gráfico (gráficos cartesianos) como las que trabajamos  AQUI?

a)    Realicen la construcción propuesta en la actividad 2 de la secuencia Grados y radianes. La misma se encuentra en el portal Educ.ar, docentes  recursos conectar igualdad navegar por la colección secuencias didácticas    matemática  ciclo orientado.

b)    Realicen la actividad 1: Función seno que se encuentra en la pestaña recurso y estrategias de la página Inclusión Digital Educativa del Ministerio de Educación.

c)    ¿Cómo complementarían el trabajo con softwares y el trabajo con lápiz y papel?

Propongan actividades y/o secuencias de enseñanza para estudiar funciones trigonométricas usando graficadores. No olviden indicar qué aporta o permite cada actividad seleccionada.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Proyecto Gauss. Sitio que brinda al profesorado varios centenares de ítems didácticos y de applets de GeoGebra, que cubren todos los contenidos de matemáticas de Primaria y de Secundaria.

Portal Educ.ar. El portal educativo del Estado argentino.

Inclusión Digital Educativa. Iniciativa del ministerio de Educación de la Nación  Argentina.

Descartes Proyecto creado con la finalidad de aprovechar las ventajas del ordenador y de Internet para ofrecer al profesorado y al alumnado una nueva forma de enseñar y aprender Matemáticas.

  La Circunferencia Goniométrica y las razones trigonométricas. (1ª Forma). Actividad con GeoGebra.

La Circunferencia Goniométrica y las razones trigonométricas (2ª Forma).Actividad con GeoGebra.

La página de docentes de Navarra.Ejemplos diversos de webs interactivas de Matemáticas diseñadas con GeoGebra por Manuel Sada Allo.

WebQuest: línes trigonométricas.

Estudio socioepistemológico de la función trigonométrica.

Wiki GeoGebra. Propuestas para el aula.

 Videos

Transformaciones de las funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas con GeoGebra

Tutoriales 

Circunferencia trigonométrica con GeoGebra. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Función seno con GeoGebra. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Funciones seno, coseno y tangente con GeoGebra. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Pasos de construcción de circunferencia trigonométrica y funciones seno, coseno y tangente. PDF. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Dibujos,  construcciones, aportes y Secuencias didácticas brindados por los profesores

Publicado en Matemática | Etiquetado , , | 1 Comentario

Funciones y graficadores

El concepto de función constituye una idea unificadora de  gran importancia en las matemáticas. Las funciones, que son correspondencias especiales entre los elementos de dos conjuntos, están presentes a lo largo de todo el currículo. En aritmética las funciones aparecen como operaciones numéricas, donde dos números se corresponden con uno sólo, como en el caso de la suma de un par de números; en álgebra las funciones son relaciones entre variables que representan números; en geometría las funciones ponen en relación conjuntos de puntos con sus imágenes en movimientos tales como reflexiones, traslaciones y giros; por último, en los fenómenos aleatorios relacionan sucesos con la probabilidad de que ocurran.

No se trata de un concepto simple, ya que con él aparecen vinculados no solo distintos esquemas de conocimiento sino también numerosos conceptos, tales como dominio, imagen, variable, dependencia, crecimiento, continuidad. Ninguno de estos sub-conceptos es sencillo tomado por separado. Comprender una función implica, además, vincularlos entre sí.

Por otra parte, una misma función puede ser representada de diversas maneras, tales como: descripción verbal, diagramas de flechas, tablas, gráficas, fórmulas.

Según Janvier (1987) no se ha integrado el concepto de función hasta que no se es capaz de pasar de una de estas representaciones a todas las demás en forma espontánea y flexible. Janvier grafica estas múltiples representaciones con una estrella de cinco puntas:

Pero, ¿cómo introducimos el concepto de función?¿Qué tipo de actividades planteamos?

Los estudiosos de la Didáctica de la Matemática sostienen que lo ideal es empezar por problemas de interpretación de gráficas, de tablas, de diagramas o de la representación que sea, dando la oportunidad al estudiante de hipotetizar para que luego, a partir de construcciones pueda verificar sus hipótesis. Aquí es donde los graficadores cobran gran importancia y son más eficaces que el lápiz y el papel.

El entorno de GeoGebra nos permite ver en paralelo tres representaciones de una función (gráfica, algebraica y tabla) facilitando el pasaje intuitivo de una forma de representación a otra. Por supuesto que podemos completar el estudio de las representaciones insertando o realizando dibujos en la vista gráfica, como se verá en las propuestas que compartimos.

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Winplot es otro software libre que ofrece interesantes posibilidades para realizar actividades de interpretación y construcción de funciones.

Winplot puede descargarse de su sitio oficial, en el sitio de Patricia Picos podrán investigar sobre su uso y en el libro El winplot como recurso didáctico en la enseñanza de la matemática encontrarán interesantes actividades para indagar.

Manos a la obra entonces! Empecemos a interpretar representaciones de funciones y a pasar de una forma de representación a la otra.

¿Y por dónde empezamos?

Les propongo empezar por lo menos convencional pero no por ello menos eficaz. Trabajemos en el pasaje de la representación gráfica (dibujo) a la representación gráfica (gráfico cartesiano). Pero ojo, sin usar tabla! Si usáramos tablas estaríamos pasando de dibujo a tabla y de tabla a grafica cartesiana. Visiten Llename y verán de lo que hablo.

Temas principales de esta propuesta

  • El concepto de función y sus subconceptos.
  • Introducción al estudio de funciones a partir de actividades de interpretación.
  • El pasaje de la representación gráfica -dibujo- a la representación gráfica -ejes cartesianos-.
  • Los problemas de llenado de recipientes.
  • Uso Geogebra para representar y estudiar funciones.
  • Uso de Winplot para representar y estudiar funciones.

Propuesta de trabajo

Una misma función puede ser representada de diversas maneras, tales como: descripción verbal, diagramas de flechas, tablas, gráficas, fórmulas.

Entonces:

¿Qué significa enseñar funciones?

¿Cómo introduzco el concepto de función en el aula?

Para pensar en estas preguntas los invito a resolver y discutir los problemas que encuentra AQUI. Pueden trabajar utilizando WinPlot o GeoGebra.

Dibujos,  construcciones, aportes y Secuencias didácticas brindados por los profesores

 

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

 

Tutoriales

Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Bs As, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Representar funciones con GeoGebra. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Guardar y exportar trabajos realizados con GeoGebra. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

 Funciones y coordenadas de uno de sus puntos con GeoGebra. Ggb.Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Funciones en winplot.

Funciones con Graphmatica.

Variación de volumen en función de la altura en tres tramos.  Ggb. Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados

Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Bs As, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados
Publicado en Matemática, Sin categoría | Etiquetado , , | 2 comentarios

Fractales…más allá de las imágenes

 La noción de fractal posee modelos matemáticos donde es posible retomar contenidos vistos en distintos años de la ES, pero aplicados con ciertas particularidades como geometría, sucesiones, transformaciones, matrices, ecuaciones exponenciales y noción de límite de sucesiones. Los fractales también modelizan objetos que exhiben una estructura a varios niveles de escala y se utilizan en la gráfica computarizada, que en ciertos casos describen formas de la naturaleza: Helge Koch mostró una curva con perímetro infinito, que encierra una región del plano de área finita, representada por una figura con forma de copo de nieve. 

AQUI encontramos interesantes propuestas para trabajar en el aula los fractales clásicos desde su construcción hasta el estudio de patrones y regularidades.

A veces no resulta sencillo despertar el interés en las clases de matemática, pero ¿a quién no le interesa jugar?, ¿qué chico no se interesa por los dibujos o se expresa a través de ellos? No tenemos más que mirar los bancos de las escuelas y las paredes, jeje. ¿Por qué no aprovechar ese artista interior para estudiar matemática?

Qué tal si iniciamos el estudio de la geometría fractal con papel y tijera!

Fractales con papel y tijera 1                                  Fractales con papel y tijera 2

Por otra parte, los fractales son autosemejantes porque una pequeña porción de un fractal resulta una copia a menor escala de todo el fractal.  El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. En este punto los softwares son ideales para trabajar fractales, por ejemplo:

  • Vean este documental, sin duda pensarán interesantes propuestas para llevarlo al aula.
  • Si la idea es trabajar desde las imágenes, GIMP es una buena alternativa para principiantes, sin uso de fórmulas matemáticas y con tres niveles de complejidad que nos permitirán acercarnos paulatinamente a los fractales: fondo de pantalla con efecto fractal , herramienta fractal explorer y filtro fractal IFS.
  • También contamos con software libres que nos permiten estudiar los fractales, algunos no necesitan descarga como FractalForge 2.8.2 y pueden lograrse interesantes producciones como las que se ven en este video. (Escuchen los clics…dan cuenta de la sencillez del trabajo)

FractalForge 2.8.2 puede descargarse de la categoría “Matemáticas > Fractales” incluida en cdlibre.org.

  • Si queremos trabajar desde el estudio de patrones y con fórmulas matemáticas contamos con dos importantes opciones: el entorno de GeoGebra, con propuestas como las que ofrece Estalmat-fractales o como las que pueden leerse en el número 47 de la revista suma o con el estudio de fractales simples de leer aunque no tan simples de construir.
  • Ahora, si lo que buscamos es una integración completa entre matemática y arte para llevar al aula, no podemos dejar de visitar Fractfinder. Este sitio nos acompaña en la utilización del software Explorador FF para la creación de fractales con y sin fórmulas.

El tema se agota aquí? No…esto es solo el principio.

Temas principales de esta propuesta

  •       Arte fractal
  •      Producción de imágenes fractales con GIMP. Editor de gráficos. Herramienta fractal explorer. Sistema de funciones iteradas (IFS).
  •       La función modelizadora de los fractales.
  •       La enseñanza de los fractales en la escuela secundaria y su relación con otros contenidos matemáticos.
  •       Historia de los fractales, concepto, dimensión y utilización.
  •       Creación de herramientas en GeoGebra.
  •       Uso de GeoGebra para representar fractales.
  •       Fractales y número complejos.
  •       Construcción de fractales con papel.                                                   
  •       Construcción y estudio de fractales con FractalForge 2.8.2y conExplorador FF

Propuesta de trabajo

En el siguiente video podemos ver algunos diseños de arte fractal.

Iteraciones, repeticiones y azar crean estas complejas figuras geométricas. Podemos dejar un momento la matemática de lado y lograr bellos diseños fractales con GIMP siguiendo las instrucciones que vemos en el Tutorial 1 y en el  Tutorial 2. También es posible obtener un diseño fractal con GIMP usando la herramienta fractal explorer como vemos en este video o siguiendo este Tutorial.

 Disfrutemos de algunos de las imágenes que pueden lograrse.

Preparar un hipertexto sobre fractales que incluya:

  1. Síntesis histórica
  2. Concepto de fractal
  3. Dimensión de un fractal
  4.  Análisis completo de un fractal
  5. Conexión con otros temas, sean o no de matemática.

Elijan dos fractales, describan como se forman (Copo de nieve de Koch, el dragón, triángulo de Sierpinski, alfombra de Sierpinski,…) y diséñenlo utilizando GeoGebra.

Orientados por el documento Fractales con GeoGebra en Educación Secundaria diseñe una propuesta de actividades para el aula.

Dibujos, construcciones, aportes brindados por los profesores

Paraver los trabajos en Geogebra controleque Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Videos

Tutoriales

Profesora Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados:

Profesora Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires.

 Secuencias didácticas y actividades brindadas por los profesores

Publicado en Matemática, Sin categoría | Etiquetado , , | 1 Comentario

Álgebra y Geometría: Patrones, regularidades y sucesiones

Pensar en la enseñanza del álgebra implica pensar en saberes algebraicos alrededor de dos dimensiones: una dimensión útil que hace referencia a la utilización del álgebra para resolver problemas intra y extra matemáticos, y una dimensión objeto en la que el álgebra es considerada un conjunto estructurado de objetos (ecuaciones, incógnita, variable, función, etc.) con propiedades y reglas propias de funcionamiento.

La dimensión útil sólo adquiere sentido y potencia su rendimiento si hacemos de ella un objeto de estudio (Chevalard). Entonces, a partir de la resolución de problemas podemos utilizar el álgebra como instrumento para luego detenernos en el álgebra como objeto matemático, ya sea que los problemas estén ligados a la modelización, al trabajo aritmético o a las generalizaciones.

Si nos centramos en los problemas de generalización, el estudio de patrones o regularidades puede ser un buen camino hacia la abstracción matemática y hacia el desarrollo del pensamiento algebraico por medio de situaciones que permitan percibir patrones, expresarlos, registrarlos y probar la validez de las fórmulas.

Como un patrón es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, etc.) que se construye siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetición o recurrencia; puede llevarse al aula a través de la lectura de texto, de imágenes o de sonidos y utilizando lápiz y papel, calculadora, videos o programas como GeoGebra.

Como botón de muestra tomemos dos polígonos regulares, centrados en circunferencias concéntricas. Cada lado del polígono mayor es el doble que el del polígono menor. ¿Cuántos segmentos necesitamos dibujar para unir todos los vértices del mayor con todos los vértices del menor?

(Clic sobre la imagen para ver archivo dinámico)

Esta pregunta es fácil de responder si los polígonos tienen pocos lados pero la tarea no es tan simple si los polígonos tienen 15, 20 o 30 lados. En estos casos tal vez la estrategia más adecuada no sea el conteo y quizás debiéramos reemplazar el lápiz y el papel por otro recurso que nos permita analizar las regularidades y encontrar una fórmula para unir todos los vértices de dos polígonos de n lados.

(Clic sobre la imagen para ver archivo dinámico)

Temas principales de esta propuesta

  • La introducción al Algebra a través de patrones, regularidades y razonamiento inductivo.
  • Las regularidades como fuente de aprendizaje.
  • Patrones y regularidades en la naturaleza.
  • Patrones numéricos y patrones geométricos.
  • Generalización a partir de regularidades geométricas.
  • Polígonos estrellados y polígonos anidados.
  • GeoGebra: uso de comandos.

 Propuesta de trabajo

Las actividades propuestas invitan a pensar cómo a través del estudio de patrones y de regularidades es posible introducir a los estudiantes en los procesos de generalización y a las formas de razonamiento.

Como la búsqueda de regularidades puede realizarse en conjuntos numéricos, geométricos, de relaciones, de funciones, de valores estadísticos, de medidas, etc, se invita también a reflexionar sobre cómo este contenido puede trabajarse en todos los años de la escuela secundaria.

  1. Completen la actividad de los cuadrados propuesta en el siguiente video.

Clic AQUÍ para ver el video.

2.  Busquen y seleccionen un video, una imagen o una presentación de powerpoint que muestre figuras y formas que se pueden tomar como ejemplo para hacer sucesiones numéricas. Compartan el link en el foro y cuenten cuál es el patrón que se sigue.

  1. Resuelvan al menos tres de las actividades propuestas AQUÍ por Rabino, Bressan y Gallego.
  2. ¿Qué aporta o qué permite cada actividad seleccionada?

  1. Realicen las actividades propuestas AQUÍ con GeoGebra.
  2. ¿Qué aportan o permiten estas actividades en el aula? ¿Pueden realizarse con lápiz y papel? En caso afirmativo, ¿varían los aportes?

Propongan una secuencia para trabajar en clase patrones y regularidades numéricas. No olviden incluir los aportes de cada actividad.

Comentarios sobre las actividades

La búsqueda de imágenes y videos propuesta en la actividad 1, apunta a observar patrones y a seleccionar posibles recursos de aprendizaje.

Los problemas de la actividad 2 son problemas de regularidades y patrones para alumnos de primer año de la escuela secundaria que nos servirán para discutir sobre la enseñanza y el aprendizaje de las sucesiones y de las expresiones algebraicas.

La actividad 3 invita a pensar las generalizaciones desde modelos geométricos.

Y la actividad 4, permite utilizar todo el recorrido realizado para crear secuencias de enseñanza.

Dibujos, construcciones, aportes brindados por los profesores

Para ver los trabajos en Geogebra controle que Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Videos:

 Tutoriales:

 Secuencias didácticas brindadas por los profesores

 

View more documents from noemihaponiuk
Publicado en Matemática | Etiquetado , , | 2 comentarios

Álgebra y Geometría: La enseñanza y el aprendizaje de las expresiones algebraicas a partir de modelos de área.

Enseñar algebra en general y expresiones algebraicas en particular no es tarea sencilla, no es fácil para los chicos ver que el signo igual no siempre significa igual, que las letras no siempre son incógnitas, que una expresión algebraica no siempre debe mirarse como una fórmula.

Los modelos geométricos constituyen un excelente recurso para enseñar expresiones algebraicas con significado para el alumno, pero debemos ser cuidadosos al utilizarlos y no abusar de ellos porque podríamos crear dependencia y errores de interpretación. Es por esto que en esta propuesta pensamos en la enseñanza y en el aprendizaje a partir de secuencias, porque más allá del recurso didáctico que ellas representan, su planificación nos hace pensar en qué haremos con ella en clase, cómo llevaremos adelante la clase, qué orientación le voy a dar, en qué momento del desarrollo de la secuencia haré una puesta en común para compartir y analizar estrategias, entre otras cosas.

Temas principales de esta propuesta

  • Comparación de expresiones algebraicas utilizando modelos de área.
  • Relación entre modelos geométricos y modelos algebraicos.
  • Formas de representación y lenguaje matemático.
  • La selección de recursos para trabajar distintos aspectos de un contenido.
  • Geometría dinámica y exploración de relaciones matemáticas

Propuesta de trabajo

Las actividades presentadas pretenden abrir la discusión sobre las relaciones y rupturas entre la aritmética, el álgebra y la Geometría.   Dada la amplitud del campo se realiza un recorte para trabajar sobre las expresiones algebraicas en relación a los modelos de área.

Las dos primeras actividades invitan a la discusión desde lo realizado, a la selección didáctica de recursos y al análisis de actividades, problemas y secuencias de enseñanza.

La actividad 3 permite sintetizar los análisis a través de la producción de secuencias de enseñanza.

Actividad 1: Realizar las siguientes actividades del portal Educ.ar.

¿Cuáles son los aportes de cada una de estas actividades si se trabajan con lápiz y papel?

Actividad 2: Adaptar la secuencia de actividades del portal Educ.ar para trabajar con GeoGebra o con algún otro software y revisar los aportes de las actividades. ¿Los aportes de cada actividad siguen siendo los mismos?

Actividad 3: Escribir una secuencia didáctica o una secuencia de actividades para trabajar expresiones algebraicas en relación con su interpretación geométrica.

 

Dibujos, construcciones, aportes brindados por los profesores

Para ver trabajos en GeoGebra controle que Java esté operando en su equipo: http://www.java.com/en/download/help/testvm.xml

Puede descargar GeoGebra desde su sitio oficial: http://www.geogebra.org/cms/es

Para saber más sobre GeoGebra se recomienda la lectura del manual de inicio y de los tutoriales.

Links y Sitios compartidos en el proceso de trabajo

Enlaces propuestos para la lectura por la Profesora Patricia Mascó de Rosario, provincia de Santa Fe.

Enlaces propuestos por la Profesora Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires.

Enlaces propuestos por las Profesoras Ivana Agüero de Cruz del Eje, provincia de Córdoba y Eugenia Hernando de la provincia de Buenos Aires.

Tutoriales

  • Geogebra. Deslizadores. (Autora: Prof. Noemí Haponiuk de Necochea, provincia de Buenos Aires, Tutora del Foro de Matemática del Aula de Egresados).
  • Equivalencia. (Autora: Prof. Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires).
  • Nombrar objetos. GeoGebra. (Autora: Prof. Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires).

 Secuencias didácticas brindadas por los profesores

                                                                       

Publicado en Matemática | Etiquetado , , | 1 Comentario